DOE之三：多因子DOE的魅力
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通過(guò)前兩期的介紹，我們已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)到了DOE的強(qiáng)大分析功能。但是有的讀者可能會(huì)不以為然：在此之前的兩個(gè)案例中因子的數(shù)量太少(只有3個(gè))，而實(shí)際需要解決的問(wèn)題會(huì)復(fù)雜得多，涉及的因子數(shù)量也可能會(huì)很多(至少有6個(gè))。因此，他就可能會(huì)得出一個(gè)結(jié)論：DOE只適合于少數(shù)因子的問(wèn)題分析，至于處理多因子問(wèn)題，則顯得無(wú)能為力了。
這個(gè)結(jié)論顯然有失偏頗，其實(shí)DOE的一大特點(diǎn)就是可以處理包含多達(dá)50個(gè)(并不限于50個(gè))因子的復(fù)雜問(wèn)題，本期的主要內(nèi)容就是向讀者介紹多因子DOE的方法。
從理論上講，上一期的DOE案例實(shí)質(zhì)上采用的是完全因子設(shè)計(jì)(Full Factorial Design)，這類方法在因子數(shù)量較少的時(shí)候?qū)嵤┢饋?lái)比較方便。但是正如表一所示，當(dāng)試驗(yàn)中的因子數(shù)量逐步增加時(shí)，試驗(yàn)次數(shù)卻呈指數(shù)增加，龐大的試驗(yàn)規(guī)模意味著巨額的試驗(yàn)費(fèi)用，意味著實(shí)施DOE的可行性越來(lái)越小。
表一 完全因子DOE的局限
為了解決這個(gè)矛盾，我們可以用一種更具魅力的方法——部分因子設(shè)計(jì)(Fractional Factorial Design)來(lái)替代一般的完全因子設(shè)計(jì)。顧名思義，部分因子設(shè)計(jì)源于完全因子設(shè)計(jì)，是與其對(duì)應(yīng)的完全因子設(shè)計(jì)中的一部分。但究竟是哪一部分，是否可以隨機(jī)選取?舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明。
表二顯示的是一個(gè)完全因子設(shè)計(jì)的計(jì)劃表，A、B和C表示三個(gè)主因子，+1和-1表示因子的兩個(gè)不同水平，AB、AC和BC表示二階交互作用，ABC表示三階交互作用，總共需要做8次不同的水平組合來(lái)完成1次完全因子設(shè)計(jì)的計(jì)劃。
表二 3因子的完全因子設(shè)計(jì)計(jì)劃表
以上這個(gè)試驗(yàn)計(jì)劃適用于3個(gè)或以下因子，可支持8次試驗(yàn)運(yùn)行的DOE。如果增加了第四個(gè)因子D，但依然只能支持8次試驗(yàn)運(yùn)行時(shí)，我們應(yīng)該怎么辦呢?原來(lái)表二中的計(jì)劃表有 8行7列，任意兩列間是相互正交的。我們希望增加一列來(lái)安排因子D，而且希望此列仍然能與前面各列保持正交性。數(shù)學(xué)上可以證明，“找出一個(gè)與前 7 列不同的列而與前3 列保持正交”是不可能的。換句話說(shuō)，D 列必須與第4、5、6、7列中的某列完全相同。完全相同意味著這兩列的效應(yīng)會(huì)被“混雜”(Confounded)，即獲得計(jì)算所得的分析結(jié)果后，分不清兩種效應(yīng)各是多少。權(quán)衡之下，我們認(rèn)為取D=ABC 是最好的安排，因?yàn)橥ǔＶ饕蜃幼饔门c三階交互作用混雜的可能性最小。
根據(jù)上述決定，將D列取值設(shè)定與ABC列相同，并將其前移至第 4 列，可以得到表三所列的計(jì)劃表。
表三 4因子的部分因子設(shè)計(jì)計(jì)劃表
聰明的讀者一定會(huì)猜到還可以使用圖二的計(jì)劃表繼續(xù)構(gòu)建出第5、第6乃至第7個(gè)因子，但試驗(yàn)的規(guī)模依然保留在8次。當(dāng)然，當(dāng)同等規(guī)模的試驗(yàn)中所涉及的因子數(shù)量越多時(shí)，產(chǎn)生“混雜”的概率會(huì)越大，后期分析結(jié)果的精確程度也會(huì)有所降低。這就是試驗(yàn)成本與分析精度這對(duì)矛盾的平衡，也是“部分因子設(shè)計(jì)”產(chǎn)生的基本原理。值得一提的是，在制定部分因子設(shè)計(jì)的具體方案時(shí)，不必如此繁瑣地逐一推算，成熟的六西格瑪統(tǒng)計(jì)分析軟件JMP早已能夠自動(dòng)地實(shí)現(xiàn)了這一功能。
下面我們想通過(guò)一個(gè)發(fā)生在國(guó)外的DOE案例來(lái)體會(huì)部分因子設(shè)計(jì)的實(shí)際意義。
場(chǎng)景 : ACB公司是一家網(wǎng)絡(luò)公司，主要為個(gè)人用戶提供服務(wù)。近階段以來(lái)公司網(wǎng)站的點(diǎn)擊數(shù)總體偏低，排名在同行業(yè)中持續(xù)下滑，高層管理層決定通過(guò)一個(gè)DOE項(xiàng)目找到少數(shù)幾個(gè)關(guān)鍵因素，提高公司網(wǎng)站的每周訪問(wèn)量。經(jīng)過(guò)初步分析，項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵詞的個(gè)數(shù)、關(guān)鍵詞的類型、URL標(biāo)題、每周的更新頻率、關(guān)鍵詞在標(biāo)題中的位置和免費(fèi)禮物是最具可能性的關(guān)鍵因子。但是如果按傳統(tǒng)的完全因子設(shè)計(jì)的思路，至少要做26=64次試驗(yàn)，項(xiàng)目的時(shí)間跨度超過(guò)一年，分析結(jié)果的價(jià)值性大大降低，有什么好辦法來(lái)克服這個(gè)困難呢?
顯然，這個(gè)案例用部分因子設(shè)計(jì)的DOE來(lái)實(shí)現(xiàn)是再合適不過(guò)了。針對(duì)已知的6個(gè)關(guān)鍵因子，各取兩個(gè)最具代表性的水平值，鑒于該項(xiàng)目的主要目的是尋找關(guān)鍵因子，選擇篩選效率最高的設(shè)計(jì)方案26-3(=8)，不同水平組合時(shí)分別運(yùn)行1周，八周后統(tǒng)計(jì)相應(yīng)的點(diǎn)擊數(shù)量，結(jié)果如表四所示。
表四 DOE實(shí)施記錄
接著，專業(yè)六西格瑪統(tǒng)計(jì)分析軟件JMP可以幫助我們做出具體的定性和定量的分析，不僅如此，它還等借助豐富生動(dòng)的圖形甚至動(dòng)畫將分析結(jié)果展現(xiàn)給我們。在此筆者不想強(qiáng)調(diào)過(guò)多的統(tǒng)計(jì)概念，只想用形象直觀的圖形說(shuō)明分析結(jié)果。
無(wú)論是從圖一的Pareto圖，還是從圖二的正態(tài)性圖，我們都能清晰地發(fā)現(xiàn)每周的更新頻率和關(guān)鍵詞的類型是影響點(diǎn)擊數(shù)的關(guān)鍵因子。由此可見(jiàn)，在部分因子設(shè)計(jì)的思想指引下，多因子試驗(yàn)的時(shí)間成本、經(jīng)濟(jì)成本大大減少，而主要的分析目的沒(méi)有受到絲毫的影響，多因子DOE的魅力正吸引著更多的工作人員將DOE的分析方法應(yīng)用到更多的應(yīng)用領(lǐng)域中。